上禮拜幫我爸把一筆到期的錢重新排一遍，家裡的說法是「一年 4 個點，放 20 年，翻一番還多」。我答應他寫個能拿去跟人對照的數，第一步就卡住：同一個「4%、20 年」，按年複利、按月複利、只報名義、按單利，是四個互不相同的結果。下面所有數都來自一組假設輸入，不是報價，也不預示收益。
一、先把輸入和計息口徑釘死
輸入是：本金 10 萬、每月追加 3000、名義年利率 4%、按月計息、20 年。落到公式裡是每期利率 i = 0.003333、期數 N = 240。本金走 FV = P × (1 + r/m)^(m×n)，20 年後 222,258.21；追加走 FV = A × ((1 + i)^N - 1) / i，是 1,100,323.88。合計 1,322,582.09，累計投入 820,000.00，收益 502,582.09，收益率 61.29%。
61.29% 最容易被讀錯：它是 20 年累計收益除以累計投入，不是年化，我輸進去的名義年利率始終是 4%。要跨年比得換成有效年利率 EAR = (1 + r/m)^m - 1，名義 4% 按月複利是 4.0742%，這兩個百分數不能混著說。頻率本身的影響倒不大：名義 6% 按月實際年化 6.1678%，按日 6.1831%，只差 0.0153 個百分點。百分點和百分比是兩碼事，這點我拿百分比計算對過：漲 10% 再跌 10% 只剩 99.0000%，淨 -1.0000%。
二、同一組輸入走三條路
| 口徑 | 20 年終值 | 對照 |
|---|---|---|
| 複利，每月末追加 | 1,322,582.09 | 基準 |
| 複利，每月初追加 | 1,326,249.83 | 多 3,667.75 |
| 單利口徑 | 1,186,800.00 | 少 135,782.09 |
單利那行只有本金產生利息，追加按在場月數計。期限一拉長這個差就壓不住：同樣條件拉到 40 年，複利 4,039,871.13、單利 2,849,600.00，差 1,190,271.13，是 20 年那檔 135,782.09 的 8.77 倍。沒有追加的那組對照：本金 100000、3.5%、30 年，複利 280679.37、單利 205000.00，差 75679.37，核對 1.035^30 = 2.806794。
逐期累加和公式誰可信，我對了一次帳：每月末投 1000、20 年、名義 6% 月複利，終值 462040.90，投入 240000、收益 222040.90；用 1000*((1.005^240-1)/0.005) 核出來同樣是 462040.90，差 0.0000。改成每月初投是 464351.10，多 2310.20。我認的是顯示值差，不是二進位最後一位：0.1 + 0.2 在腳本裡等於 0.30000000000000004，1.005 * 100 是 100.49999999999999，取兩位才回到 100.50。
三、72 法則我只當口算
- 1% 檔：72/1 = 72.00 年，精確 69.661 年，誤差 3.36%
- 4% 檔：72/4 = 18.00 年，精確 17.673 年，誤差 1.85%
- 8% 檔：72/8 = 9.00 年，精確 9.006 年，誤差 -0.07%，整數利率裡最準的一檔，同檔 69.3/8 = 8.6625 年反而更偏
- 15% 檔：72/15 = 4.80 年，精確 4.959 年，誤差 -3.22%
- 20% 檔：72/20 = 3.60 年，精確 3.802 年，誤差 -5.31%
我媽那隻基金從 50 漲到 120 用了 6 年，按 (期末 / 期初)^(1 / n) - 1 算是 15.709%，精確翻倍 4.75 年，72 法則給 4.58 年，少算 61.1 天。所以我只拿它篩「這話術離譜多遠」，不當預算刻度。
四、反推三問才是他要的數
正著算完，他問的是反過來三件事。我在複利計算器裡把年限、本金、利率逐個解：要多少年，第 247 個月達成、約 20.58 年，按整年規劃得取 21 年，屆時餘額 1,031,254.78；要多少本金，100 萬的目標扣掉追加那條線還差 579,699.67，折成現在一次性準備的本金是 282,676.80；要多高利率，湊到 100 萬要名義年利率 9.513%，對應實際年化 9.939%，若名義只有 3%，同期只到 532,316.97。
這三個數我當「要求」讀，不當「預測」讀：反推假設利率恆定、每期追加足額不中斷，工具也不支援變動利率。所有金額都沒扣稅費、費率與通膨，這步得在結果外面自己扣——通膨 3% 下，20 年後的 100 元相當於現在的 55.3676 元。
Q：年化 4% 是不是每月 0.33%？
每期利率取 4% 除以 12 的顯示值 i = 0.003333，但每月利息當年度就開始生息，實際年化成了 4.0742%，不再是輸入的那個 4%。
Q：每月初投和每月末投差多少？
只影響追加那筆，等於提前一期：主算例差 3,667.75，每月 1000 那組差 2310.20。工具的③卡片預設按期末（end）計，本文這些數都是期末口徑。
Q：72 法則能當預算依據嗎？
不。誤差最小的整數檔是 8%，也才 -0.07%；1% 檔偏 3.36%、20% 檔偏 -5.31%，偏差方向還會從正轉到負，拿它當刻度就是拿一個會變的數做計畫。
Q：502,582.09 是預期收益嗎？
不是，它只是那組假設輸入的算術結果：換成單利是 1,186,800.00，拉到 40 年複利是 4,039,871.13，輸入一動數就動，不替任何產品擔保。
Q：要不要扣通膨再看？
要，但工具不做這一步：上面所有金額都是名義值，稅費、費率與通膨都得在結果之外自己扣，我給的合計裡沒含這些。
回到開頭那句「4% 放 20 年翻一番還多」。那是把 4% 當按年複利時的 72/4 = 18.00 年、精確 17.673 年，誤差 1.85%；我爸這組是按月計息的名義 4%，實際年化 4.0742%，兩個口徑不是一回事，所以這句結論我沒直接抄給他。紙上我寫的是三個數一起擺：1,186,800.00、1,322,582.09、1,326,249.83，讓他看見口徑挪一格數就挪多少。他要點頭的只有兩件事：每月 3000 二十年能不能不斷，以及這份沒扣稅費與通膨的數，購買力上能不能受住 55.3676 元那檔折扣。