上週幫一個讀工科的朋友核對實驗報告。他要算 sin(pi)，螢幕上是 0.0548036651488，標準答案寫 0，他來回按了幾遍，說這東西算錯了。我把同一串字元在兩種模式下各跑一遍，結論當場翻過來：那個數不是雜訊，是他把 π 當成角度餵了進去；換成弧度，螢幕換成 1.224647e-16，這才是「理論上等於 0」那條式子的雙精度真身。模式、語法、浮點表示，混在了同一次按鍵裡。
先把三件事拆開
模式決定括號裡那個數按什麼單位讀：角度制下先乘 π/180 再進函式，弧度制下原樣進去。語法決定計算順序：冪右結合，階乘與百分號是後綴，一元負號排在冪之後，與單位無關。表示決定結果為什麼不會正好是 0：雙精度存不下 π，也存不下 0.1，於是 1.224647e-16 與 0.30000000000000004441 這類尾巴必然出現。
同一個表達式，兩列分開看
下表是同一串輸入在兩種模式下的結果，raw 是雙精度原始值，shown 是螢幕那行數：
| 表達式 | 模式 | raw | shown |
|---|---|---|---|
sin(pi) | DEG | 0.054803665148789530714 | 0.0548036651488 |
sin(pi) | RAD | 1.2246467991473532072e-16 | 1.224647e-16 |
cos(pi) | DEG | 0.99849714986386384208 | 0.998497149864 |
sin(30) | DEG | 0.49999999999999994449 | 0.5 |
sin(30) | RAD | -0.98803162409286182655 | -0.988031624093 |
0.1+0.2 | 四則 | 0.30000000000000004441 | 0.3 |
cos(pi) 在角度制下 shown 是 0.998497149864：它算的是 3.14159265359 這個角度的餘弦，跟 180 度的餘弦不是同一個問題。sin(30) 兩行差得更遠，一個讀成 30 度，一個讀成 30 弧度。
語法：三個容易被當成 bug 的結論
這塊跟模式無關，純粹是解析順序。2^3^2 的 shown 是 512：冪右結合，先算完 3^2 那一支再拿 2 去乘方，從左往右讀得到的 64 不是它的口徑。2^3! = 64，後綴的 ! 比冪更緊。-2^2 = -4，一元負號排在冪之後，跟數學裡把 −x² 讀成 −(x²) 是同一條規矩。2+3*4 = 14 對 (2+3)*4 = 20，sin30+1 在角度制下 = 1.5，無括號的函式只吃緊跟的那個數。
數字清單：上限與邊界
- 階乘只接受非負整數，最大到
170!：shown=7.257416e+306，raw=7.2574156153079940454e+306。再往上一個整數，頁面不會回傳數字，只給超出範圍的說明；雙精度能顯示的上限是 1.797693e+308。 - 精確整數上限是 9007199254740991，即 2^53-1；到 1e21 這個量級，1e21+1-1e21 得 0，那個加進去的 1 已經被吃掉。
- 百分號是後綴運算，讀作除以 100：
200*(1+10%)的 shown 是 220、raw 是 220.00000000000002842；(1+10%)^12-1= 2.13842837672，跟把 10% 乘 12 是兩條路。 - 千分位逗號與科學記號法都吃：
1,000/8= 125、1000*(1+4.7%)^7= 1379.19848604。逗號只用於分組，站錯位置直接報錯。 - 常數與函式：pi = 3.14159265359、
degrees(pi/3)= 60、log2(1024)= 10、log(8)/log(2)= 3。
一整列中間值怎麼核
那天要核對的不是一道題，是一整列中間值，逐個按再逐個抄，抄錯的風險比算錯還大。我用的是 科學計算器：冪、階乘、百分號、取餘、隱式乘法能混寫，一行一式貼進去一起算；原始值與顯示值分兩行給，模式標著 DEG 還是 RAD，Ans 引用上一次結果，最近 20 條算式留成歷史。角度制與弧度制可切換，除零、負數開根號、超範圍階乘都會說明原因，表達式只在瀏覽器本機算完。求值走自寫的詞法分析與調度場演算法，全程不呼叫 eval，所以我敢把別人一整列算式貼進去。
想把某個常數換成別的進位看一眼，用 進位轉換器；那道題本來就該拿分數做四則、不該先看小數尾巴的時候，交給 分數計算器。
Q：DEG 和 RAD 到底什麼時候用哪個？
看括號裡那個數的單位。題目寫清是度數的用角度制，sin(30) 給 0.5；表達式裡出現 pi，或者在驗恆等式的切弧度，sin(pi) 落到 1.224647e-16 這個量級才對得上。degrees、radians 不受開關影響，radians(180) 始終是 3.14159265359。
Q：為什麼不顯示完整小數？
顯示行按有效數字歸一過，自動口徑是 12 位，要看真實值就對照原始行。0.1+0.2 的 shown 是 0.3，raw 是 0.30000000000000004441；sqrt(2)*sqrt(8) 顯示 4，原始值是 4.0000000000000008882。那是表示誤差，不是這一次按錯了。
Q：171! 為什麼沒有結果？
它落在雙精度能表示的範圍之外，頁面給的是超範圍說明而不是一個數。要整數比值就在溢位前先相消：12!/(5!*7!) = 792、5!+3! = 126，比把階乘單獨攤開算安全。
Q：能不能給變數賦值、把中間量存下來？
沒有變數，也沒有自訂函式：字母只認已登記的函式名與常數，其餘會報錯並指出位置。中間量走 Ans 或 MS / MR / MC。不支援多參數函式，換底寫 log(8)/log(2) = 3；求和、連乘那類記號也不認。
回到我朋友那句「是不是算錯了」。我的順序是：先看模式那欄寫的是 DEG 還是 RAD，它決定 pi 讀成 3.14159265359 度還是弧度；再看語法，冪、階乘、一元負號最容易跟手算的讀法岔開；最後才看尾巴，raw 的位數決定你看到的 0.3 是不是嚴格成立。這樣 sin(pi) 顯示 0.0548036651488 是單位問題，顯示 1.224647e-16 才是表示問題：前者只有換模式才有意義，後者該設容差判斷，不該期待一個 0。