上周帮一个读工科的朋友核对实验报告。他要算 sin(pi)，屏幕上是 0.0548036651488，标准答案写 0，他来回按了几遍，说这东西算错了。我把同一串字符在两种模式下各跑一遍，结论当场翻过来：那个数不是噪声，是他把 π 当成角度喂了进去；换成弧度，屏幕换成 1.224647e-16，这才是「理论上等于 0」那条式子的双精度真身。模式、语法、浮点表示，混在了同一次按键里。
先把三件事拆开
模式决定括号里那个数按什么单位读：角度制下先乘 π/180 再进函数，弧度制下原样进去。语法决定计算顺序：幂右结合，阶乘与百分号是后缀，一元负号排在幂之后，与单位无关。表示决定结果为什么不会正好是 0：双精度存不下 π，也存不下 0.1，于是 1.224647e-16 与 0.30000000000000004441 这类尾巴必然出现。
同一个表达式，两列分开看
下表是同一串输入在两种模式下的结果，raw 是双精度原始值，shown 是屏幕那行数：
| 表达式 | 模式 | raw | shown |
|---|---|---|---|
sin(pi) | DEG | 0.054803665148789530714 | 0.0548036651488 |
sin(pi) | RAD | 1.2246467991473532072e-16 | 1.224647e-16 |
cos(pi) | DEG | 0.99849714986386384208 | 0.998497149864 |
sin(30) | DEG | 0.49999999999999994449 | 0.5 |
sin(30) | RAD | -0.98803162409286182655 | -0.988031624093 |
0.1+0.2 | 四则 | 0.30000000000000004441 | 0.3 |
cos(pi) 在角度制下 shown 是 0.998497149864：它算的是 3.14159265359 这个角度的余弦，跟 180 度的余弦不是同一个问题。sin(30) 两行差得更远，一个读成 30 度，一个读成 30 弧度。
语法：三个容易被当成 bug 的结论
这块跟模式无关，纯粹是解析顺序。2^3^2 的 shown 是 512：幂右结合，先算完 3^2 那一支再拿 2 去乘方，从左往右读得到的 64 不是它的口径。2^3! = 64，后缀的 ! 比幂更紧。-2^2 = -4，一元负号排在幂之后，跟数学里把 −x² 读成 −(x²) 是同一条规矩。2+3*4 = 14 对 (2+3)*4 = 20，sin30+1 在角度制下 = 1.5，无括号的函数只吃紧跟的那个数。
数字清单：上限与边界
- 阶乘只接受非负整数，最大到
170!：shown=7.257416e+306，raw=7.2574156153079940454e+306。再往上一个整数，页面不返回数字，只给超出范围的说明；双精度能显示的上限是 1.797693e+308。 - 精确整数上限是 9007199254740991，即 2^53-1；到 1e21 这个量级，1e21+1-1e21 得 0，那个加进去的 1 已经被吃掉。
- 百分号是后缀运算，读作除以 100：
200*(1+10%)的 shown 是 220、raw 是 220.00000000000002842；(1+10%)^12-1= 2.13842837672，跟把 10% 乘 12 是两条路。 - 千分位逗号与科学计数法都吃：
1,000/8= 125、1000*(1+4.7%)^7= 1379.19848604。逗号只用于分组，站错位置直接报错。 - 常数与函数：pi = 3.14159265359、
degrees(pi/3)= 60、log2(1024)= 10、log(8)/log(2)= 3。
一整列中间值怎么核
那天要核对的不是一道题，是一整列中间值，逐个按再逐个抄，抄错的风险比算错还大。我用的是 科学计算器：幂、阶乘、百分号、取余、隐式乘法能混写，一行一式粘进去一起算；原始值与显示值分两行给，模式标着 DEG 还是 RAD，Ans 引用上一次结果，最近 20 条算式留成历史。角度制与弧度制可切换，除零、负数开方、超范围阶乘都会说明原因，表达式只在浏览器本地算完。求值走自写的词法分析与调度场算法，全程不调用 eval，所以我敢把别人一整列算式贴进去。
想把某个常数换成别的进制看一眼，用 进制转换器；那道题本来就该拿分数做四则、不该先看小数尾巴的时候，交给 分数计算器。
Q：DEG 和 RAD 到底什么时候用哪个？
看括号里那个数的单位。题目写清是度数的用角度制，sin(30) 给 0.5；表达式里出现 pi，或者在验恒等式的切弧度，sin(pi) 落到 1.224647e-16 这个量级才对得上。degrees、radians 不受开关影响，radians(180) 始终是 3.14159265359。
Q：为什么不显示完整小数？
显示行按有效数字归一过，自动口径是 12 位，要看真实值就对照原始行。0.1+0.2 的 shown 是 0.3，raw 是 0.30000000000000004441；sqrt(2)*sqrt(8) 显示 4，原始值是 4.0000000000000008882。那是表示误差，不是这一次按错了。
Q：171! 为什么没有结果？
它落在双精度能表示的范围之外，页面给的是超范围说明而不是一个数。要整数比值就在溢出前先相消：12!/(5!*7!) = 792、5!+3! = 126，比把阶乘单独摊开算安全。
Q：能不能给变量赋值、把中间量存下来？
没有变量，也没有自定义函数：字母只认已登记的函数名与常数，其余会报错并指出位置。中间量走 Ans 或 MS / MR / MC。不支持多参数函数，换底写 log(8)/log(2) = 3；求和、连乘那类记号也不认。
回到我朋友那句「是不是算错了」。我的顺序是：先看模式那栏写的是 DEG 还是 RAD，它决定 pi 读成 3.14159265359 度还是弧度；再看语法，幂、阶乘、一元负号最容易跟手算的读法岔开；最后才看尾巴，raw 的位数决定你看到的 0.3 是不是严格成立。这样 sin(pi) 显示 0.0548036651488 是单位问题，显示 1.224647e-16 才是表示问题：前者只有换模式才有意义，后者该设容差判断，不该期待一个 0。