上礼拜帮我爸把一笔到期的钱重新排一遍，家里的说法是「一年 4 个点，放 20 年，翻一番还多」。我答应他写个能拿去跟人对着的数，第一步就卡住：同一个「4%、20 年」，按年复利、按月复利、只报名义、按单利，是四个互不相同的结果。下面所有数都来自一组假设输入，不是报价，也不预示收益。
一、先把输入和口径钉死
输入是：本金 10 万、每月追加 3000、名义年利率 4%、按月计息、20 年。落到公式里是每期利率 i = 0.003333、期数 N = 240。本金走 FV = P × (1 + r/m)^(m×n)，20 年后 222,258.21；追加走 FV = A × ((1 + i)^N - 1) / i，是 1,100,323.88。合计 1,322,582.09，累计投入 820,000.00，收益 502,582.09，收益率 61.29%。
61.29% 最容易被读错：它是 20 年累计收益除以累计投入，不是年化，我输进去的名义年利率始终是 4%。要跨年比得换成有效年利率 EAR = (1 + r/m)^m - 1，名义 4% 按月复利是 4.0742%，这两个百分数不能混着说。频率本身的影响倒不大：名义 6% 按月实际年化 6.1678%，按日 6.1831%，只差 0.0153 个百分点。百分点和百分比是两码事，这点我拿百分比计算对过：涨 10% 再跌 10% 只剩 99.0000%，净 -1.0000%。
二、同一组输入走三条路
| 口径 | 20 年终值 | 对照 |
|---|---|---|
| 复利，每月末追加 | 1,322,582.09 | 基准 |
| 复利，每月初追加 | 1,326,249.83 | 多 3,667.75 |
| 单利口径 | 1,186,800.00 | 少 135,782.09 |
单利那行只有本金产生利息，追加按在场月数计。期限一拉长这个差就压不住：同样条件拉到 40 年，复利 4,039,871.13、单利 2,849,600.00，差 1,190,271.13，是 20 年那档 135,782.09 的 8.77 倍。没有追加的那组对照：本金 100000、3.5%、30 年，复利 280679.37、单利 205000.00，差 75679.37，核对 1.035^30 = 2.806794。
逐期累加和公式谁可信，我对了一次账：每月末投 1000、20 年、名义 6% 月复利，终值 462040.90，投入 240000、收益 222040.90；用 1000*((1.005^240-1)/0.005) 核出来同样是 462040.90，差 0.0000。改成每月初投是 464351.10，多 2310.20。我认的是显示值差，不是二进制最后一位：0.1 + 0.2 在脚本里等于 0.30000000000000004，1.005 * 100 是 100.49999999999999，取两位才回到 100.50。
三、72 法则我只当口算
- 1% 档：72/1 = 72.00 年，精确 69.661 年，误差 3.36%
- 4% 档：72/4 = 18.00 年，精确 17.673 年，误差 1.85%
- 8% 档：72/8 = 9.00 年，精确 9.006 年，误差 -0.07%，整数利率里最准的一档，同档 69.3/8 = 8.6625 年反而更偏
- 15% 档：72/15 = 4.80 年，精确 4.959 年，误差 -3.22%
- 20% 档：72/20 = 3.60 年，精确 3.802 年，误差 -5.31%
我妈那只基金从 50 涨到 120 用了 6 年，按 (期末 / 期初)^(1 / n) - 1 算是 15.709%，精确翻倍 4.75 年，72 法则给 4.58 年，少算 61.1 天。所以我只拿它筛「这话术离谱多远」，不当预算刻度。
四、反推三问才是他要的数
正着算完，他问的是反过来三件事。我在复利计算器里把年限、本金、利率逐个解：要多少年，第 247 个月达成、约 20.58 年，按整年规划得取 21 年，届时余额 1,031,254.78；要多少本金，100 万的目标扣掉追加那条线还差 579,699.67，折成现在一次性准备的本金是 282,676.80；要多高利率，凑到 100 万要名义年利率 9.513%，对应实际年化 9.939%，若名义只有 3%，同期只到 532,316.97。
这三个数我当「要求」读，不当「预测」读：反推假设利率恒定、每期追加足额不中断，工具也不支持变动利率。所有金额都没扣税费、费率与通胀，这步得在结果外面自己扣——通胀 3% 下，20 年后的 100 元相当于现在的 55.3676 元。
Q：年化 4% 是不是每月 0.33%？
每期利率取 4% 除以 12 的显示值 i = 0.003333，但每月利息当年就开始生息，实际年化成了 4.0742%，不再是输入的那个 4%。
Q：每月初投和每月末投差多少？
只影响追加那笔，等于提前一期：主算例差 3,667.75，每月 1000 那组差 2310.20。工具的③卡片默认按期末（end）计，本文这些数都是期末口径。
Q：72 法则能当预算依据吗？
不。误差最小的整数档是 8%，也才 -0.07%；1% 档偏 3.36%、20% 档偏 -5.31%，偏差方向还会从正转到负，拿它当刻度就是拿一个会变的数做计划。
Q：502,582.09 是预期收益吗？
不是，它只是那组假设输入的算术结果：换成单利是 1,186,800.00，拉到 40 年复利是 4,039,871.13，输入一动数就动，不替任何产品担保。
Q：要不要扣通胀再看？
要，但工具不做这一步：上面所有金额都是名义值，税费、费率与通胀都得在结果之外自己扣，我给的合计里没含这些。
回到开头那句「4% 放 20 年翻一番还多」。那是把 4% 当按年复利时的 72/4 = 18.00 年、精确 17.673 年，误差 1.85%；我爸这组是按月计息的名义 4%，实际年化 4.0742%，两个口径不是一回事，所以这句结论我没直接抄给他。纸上我写的是三个数一起摆：1,186,800.00、1,322,582.09、1,326,249.83，让他看见口径挪一格数就挪多少。他要点头的只有两件事：每月 3000 二十年能不能不断，以及这份没扣税费与通胀的数，购买力上能不能受住 55.3676 元那档折扣。