去年帮部门排周末值班，题目是"12 个人里选 4 个"。我算出 495，隔壁工位的老周算出 11880。我们把草稿拍在桌上互相验了一下午，最后才发现问题不在计算：回答的压根不是同一个问题。我说的是"哪四个人"，他说的是"哪四个人各守哪个岗"。
这之后我又碰到好几回同类争执：抽奖的覆盖率、比赛名单的搭配、四位数字锁的可能性。栽多了，我给自己定了一条很笨但极有用的判据，下面这些数都是逐个算过并核对的。
顺序算不算数，我做"交换测试"
把一个结果原样写下来，任意交换其中两个成员的位置，只问一句：这还算不算新的一种？算，就是顺序算数，用排列；不算就是顺序不算数，用组合。听着像废话，但做成动作之后，绝大多数题目不用再犹豫。
| 场景 | 交换两个位置之后 | 该用哪个 | 数量 |
|---|---|---|---|
| 12 人取 4 人，只决定谁上 | 还是那四个人，名单没变 | 组合 | C(12,4)=495 |
| 12 人取 4 人，分别守 4 个不同的岗 | 班次对不上人，值班表变了 | 排列 | A(12,4)=11880 |
| 52 张牌发 5 张，只看牌型 | 手里同样的五张，牌型不变 | 组合 | C(52,5)=2598960 |
| 6 个人互相握一次手 | 甲握乙与乙握甲是同一次 | 组合 | C(6,2)=15 |
| 4 位数字锁，数字不许重复 | 1234 和 4321 是两把不同的锁 | 排列 | A(10,4)=5040 |
| 4 位数字锁，数字可重复 | 每位独立，各有 10 种 | 两个都不是 | 10×10×10×10=10000 |
最后一行是我每次都要先问的第二件事：可不可重复。同一个人能不能被排两次，同一个数字能不能连按四次。两个公式默认都不重复，一旦允许重复就既不是 A 也不是 C，而是每位独立相乘。
两个公式之间只差一个 r!
排列数 A(n,r) = n! / (n-r)!，组合数 C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)，差别只在分母多出来的那个 r!，也就是 A(n,r) = C(n,r) × r!。这个关系我很常用，因为它是一次现成的自检：算完两个数除一下，应该正好等于 r 的阶乘，除不平就说明题意认错了。
我核对过的几组：
- n=12，r=4：C=495，A=11880，比值 24，正好是 4!
- n=9，r=4：C=126，A=3024，比值 24
- n=7，r=3：C=35，A=210，比值 6，正好是 3!
- n=10，r=3：C=120，A=720，比值 6
- n=6，r=2：C=15，A=30，比值 2
组合数还有两条我拿来手算验错的道路：对称性 C(n,r)=C(n,n-r)，例如 C(10,3) 和 C(10,7) 都是 120，所以手算时我总挑 r 与 n-r 里较小的那个，乘法步数少一半；帕斯卡递推 C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，例如 C(8,3)=C(7,2)+C(7,3)=21+35=56。前者防我把上下项写反，后者防我漏掉一档。要列全部方案时我不手敲，交给 排列计算器，它把公式与过程一起列出来，方便对着草稿看哪步偏了。
我真正确实算错的三类
第一类就是上面的"可重复"漏问。10000、5040、210 这三个数分别对应同一把四位锁的三种理解，题目只说"四位数字"时我吃过亏。
第二类是"至少"。5 男 7 女里选 3 人，要求"至少有 1 名女生"。我一开始的做法是先定 1 名女生再随便补 2 人：C(7,1)×C(11,2)=7×55=385，当答案交了。正确做法是拿整体减反面：C(12,3)-C(5,3)=220-10=210。多出来的 175 不是笔误：两名女生的组被数了两遍，三名女生的组被数了三遍——按女生人数拆开数是 70+105+35=210，而我那种算法得到 1×70+2×105+3×35=385。这种重复计数不会报错，只有换一种数法才看得见。
第三类是概率的分母。分母必须是完整玩法的组合数而不是其中一步：红球 6/33 加蓝球 1/16，总数是 C(33,6)×16=1107568×16=17721088，只算红球就少了 16 倍。前后两区那种玩法是 C(35,5)×C(12,2)=324632×66=21425712。给个尺度感：2598960 种扑克牌型一天摸一种，要 7120 年才摸完。
数字为什么爆得这么快
两个公式都靠阶乘，而阶乘的增长完全不讲道理。下面是我自己算的对照：
| 阶乘 | 值 | 位数 | 是否还在 2^53-1 之内 |
|---|---|---|---|
| 8! | 40320 | 5 | 在 |
| 15! | 1307674368000 | 13 | 在 |
| 18! | 6402373705728000 | 16 | 在 |
| 19! | 121645100408832000 | 18 | 越线 |
| 20! | 2432902008176640000 | 19 | 越线 |
这里的 2^53-1 是 9007199254740991，浏览器里普通数值类型能精确表示整数的上限。越线的表现不是报错，而是末尾几位悄悄变了，所以 C(20,10)=184756 这种"结果不大、中间量很大"的题最容易骗人：先算 20! 再相除，中间那步早就失真，商却看着像个正常数。C(100,50) 更是 30 位数，100891344545564193334812497256，固定宽度的整数类型装不下。这类题我会明确用支持大数的算法做：组合计算器 的说明写的是基于 BigInt 算大组合数，阶乘计算器 写的是 0 到 1000 的阶乘不溢出。
还有一件我分得很清的事：要"一个数"和要"全部明细"是两个量级。前者算 C 或 A 就够，后者要把每一项写出来，行数按阶乘涨——8 个元素的全排列是 40320 行，9 个是 362880 行，10 个是 3628800 行。这种生成通常是先压垮页面而不是压垮算术，所以工具对元素个数设上限我并不意外；那是实现定的，不是数学限制。
Q：A(n,r) 一定比 C(n,r) 大吗？
大或者相等，不会小，因为 A = C × r!。r=1 时两者都等于 n，r=0 时都等于 1，这是我用来确认公式没写反的两个边界。
Q：为什么 C(10,3) 和 C(10,7) 相等？
选出 3 个和留下 7 个是同一件事的两种说法，一一对应，所以数量必然相同。手算时挑小的那个 r 来算，步骤更少。
Q：从 7 个人里挑 3 个开会，和挑 3 个人分别负责三个不同岗位，差多少？
35 种和 210 种，差 6 倍，也就是 3!。同三个人换一下分工就算新方案，那 6 倍必须乘上。
Q：数字大到算不动了怎么办？
先问是不是真要精确值。比较数量级用约等就够；要精确到个位就不能拿普通数值类型硬算，得换成支持大数的做法，或者先把公式约分再乘。
Q：交上去之前怎么自查？
我固定查三样：A 除以 C 是不是正好等于 r!；有没有把"可重复"的题错用 A 或 C；"至少"是不是改成了整体减反面。三样都过才敢交。
回到开头那张值班表。最后用的是"分岗位"的口径，也就是 11880，因为通知里每人对应一个班次，交换位置就是一份新表。但如果讨论的是"要不要干脆随机凑人"，495 才是该说出口的量——按它排轮值，一年都轮不重。谁对谁错不重要，先说清交换之后算不算新的一种。